Приведение поверхностей второго порядка к каноническому виду

Квадрикой в пространстве называют множество точек с уравнением: $$a_{11}x^{2} + a_{22}y^{2} + a_{33}z^{2} + 2a_{12}xy + 2a_{13}xz + 2a_{23}yz + a_{1}x + a_{2}y + a_{3}z + a_{4} = 0$$

Пусть есть выражение $Ax^{2} + Bx$, где $A \neq 0$. Тогда $Bx$ можно устранить заменой переменной.

Для выражения $A x^2 + B x$: $$ A x^2 + B x = A \left( x^2 + \dfrac{B}{A}x \right) = A \left( \left(x + \dfrac{B}{2A}\right)^2 - \left(\dfrac{B}{2A}\right)^2 \right) $$ При замене $x' = x + \dfrac{B}{2A}$ выражение принимает вид: $$ A{x'}^2 - \dfrac{B^2}{4A} $$ $\square$

Квадрика относится к одному из типов: 1. Цилиндр (эллиптический/гиперболический/параболический) 2. Конус (эллиптический/гиперболический) 3. Эллипсоид 4. Гиперболоид (одно/двуполостный) 5. Параболоид (эллиптический/гиперболический) 6. Пара плоскостей (параллельные/пересекающиеся/совпавшие) 7. Прямая 8. Точка 9. Пустое множество

Пусть исходная квадрика имеет вид: $$a_{11}x^{2} + a_{22}y^{2} + a_{33}z^{2} + 2a_{12}xy + 2a_{13}xz + 2a_{23}yz + a_{1}x + a_{2}y + a_{3}z + a_{4} = 0$$ Приведём квадратичную форму к главным осям, устранив $xy$, $xz$, $yz$: $$A {x'}^2 + B {y'}^2 + C {z'}^2 + D x' + E y' + F z' + G = 0$$ **Случай 1: $A,B,C \neq 0$** По наблюдению, устраним линейные слагаемые ($G'$ - оставшиеся свободные члены): $$A{x''}^2 + B{y''}^2 + C{z''}^2 = G'$$ **Подслучаи:** - $G' = 0$: ${} A{x''}^2 + B{y''}^2 + C{z''}^2 = 0$ - Одинаковые знаки $A$, $B$ и $C$: **точка** - Знаки разные: **конус** - $G' \neq 0$: $\dfrac{{x''}^2}{\frac{-G}{A}} + \dfrac{{y''}^2}{\frac{-G}{B}} + \dfrac{{z''}^2}{\frac{-G}{C}} = 1$ - Все знаменатели $>0$: **эллипсоид** - Два $>0$, один $<0$: **однополостный гиперболоид** - Один $>0$, два $<0$: **двуполостный гиперболоид** - Все $<0$: $\varnothing$ **Случай 2: Ровно два $\neq 0$ (без ограничения общности $C=0$)** Так как $z'$ устранить нет возможности, по наблюдению получаем: $$A{x''}^2 + B{y''}^2 + F z'' + G' = 0$$ **Подслучаи:** - $F \neq 0$: сделаем замену ${} z''' = z'' + \dfrac{G'}{F} {}$, тогда: $\dfrac{{x''}^{2}}{\frac{-F}{2A}} + \dfrac{{y''}^{2}}{\frac{-F}{2B}} = 2z''$ $\implies$ **параболоид** - $F = 0$: $A{x''}^{2} + B{y''}^{2} + G' = 0$ - $G' = 0$: **прямая** ($A,B>0$) или **две плоскости** ($A > 0, B<0$) - $G' \neq 0$: - $A, B > 0$ - **эллиптический цилиндр** - $A > 0, B < 0$ - **гиперболический цилиндр** - $A, B < 0$ - $\varnothing$ **Случай 3: Ровно один $\neq 0$ (пусть $B=C=0$)** По наблюдению избавимся от $Dx'$: $$A{x''}^{2} + E{y''} + Fz'' + G' = 0$$ **Случай 3.1:** $E = F = 0$: Получаем: ${x''}^{2} = \dfrac{-G}{A}$ - $G = 0$ - **пара совпавших плоскостей** $x'' = 0$ - $\dfrac{-G}{A} > 0$ - **пара параллельных плоскостей** - $\dfrac{-G}{A} < 0$ - $\varnothing$ **Случай 3.2:** $E \neq 0$ или $F \neq 0$ *Случай 3. 2.1*: $E = 0$ $\implies$ $A{x''}^{2} + F\left( z' + \dfrac{G}{F} \right) = 0$ $\implies$ **параболический цилиндр** *Случай 3. 2.2*: $F = 0$ $\implies$ аналогично, **параболический цилиндр** *Случай 3. 2.3*: $E, F \neq 0$ Хотим устранить одно линейное слагаемое. Повернём плоскость $y''Oz''$: $$\begin{pmatrix} y'' \\ z'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y''' \\ z''' \end{pmatrix}$$ Тогда: $$Ey'' + Fz'' = y'''(E\cos\alpha + F\sin\alpha) + z'''(-E \sin\alpha + F \cos\alpha)$$ Чтобы устранить $Ey''$, найдём такое $\alpha$, что $E \cos \alpha + F \sin \alpha = 0$. Значит $\alpha = \mathrm{arcctg} \left( - \dfrac{F}{E} \right)$ и мы свели всё к случаям 3. 2.1 и 3. 2. 2. $\square$